Barisan dan Deret Aritmetika

Pada kali ini saya akan membahas tentang barisan dan deret. 

Barisan adalah suatu susunan bilangan yang memiliki pola tertentu.
Contohnya:
1, 2, 3, 4, ...

2, 4, 6, 8, ...

1, 2, 4, 6, ...

Deret merupakan jumlah bilangan pada suatu barisan

Contohnya:
2 + 8 + 14 + ... 

3 + 6 + 12 + ... 

Secara umum barisan dan deret dibagi atas 2 yaitu aritmetika dan geometri

Barisan dan Deret Aritmetika

A. Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika adalah barisan yang memiliki beda tetap. Artinya selisih antara setiap suku akan tetap.
Contoh :
1, 3, 5, 7, ...

2, 5, 8, 11, ...

Secara rumus suku-n dari barisan aritmetika adalah

U_n = a + (n - 1)b

Dimana

a = awal (suku pertama dari barisan)

b = beda (selisih)

b = U₂ - U₁ = U₃ -U₂ = U₄ - U₃ = … = U_n - U_{n -1}

Contoh soal: 

1. Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, .... Tentukan nilai dari suku ke-100

Jawab:

a = 2

b = 3

U_n  = a + (n-1)b

U₁₀₀ = 2 + (100-1)3

U₁₀₀ = 2 + (99)3

U₁₀₀ = 2 + 297

U₁₀₀ = 299

2. Diketahui sebuah barisan aritmetika tingkat satu, dimana U₈ = 43 dan U₁₃ = 68. Tentukan nilai dari suku ke-47

Jawab:
Terlebih dahulu dicari nilai a dan b 

U₈ = 43

a + (8-1)b = 43

a + 7b = 43 ………………….(1)

Lalu dengan cara yang sama diperoleh

U₁₃ = 68

a + (13-1)b = 68

a + 12b = 68 …………………(2)

Dengan mengeliminasi a pada persamaan (1) dan (2) diperoleh

5b = 25

b = 5

Dengan menyubtitusikan b = 5 ke persamaan (1) didapat

a + 7b = 43

a + 7(5) = 43

a + 35 = 43

a = 8

Sehingga diperoleh

U_n  = a + (n-1)b

U_n  = 8 + (n-1)5

U_n  = 8 + 5n - 5

U_n  = 3 + 5n

U₄₇ = 3 + 5(47) = 3 + 235= 238

2. Deret Aritmetika

Deret aritmetika adalah jumlah dari bilangan-bilangan pada barisan aritmetika.
Contohnya :
5 + 9 + 13 + 17 + ...

4 + 2 + 0 + (-2) + ...

Secara umum rumus deret aritmetika adalah 

atau 

Contoh soal :

1. Diketahui sebuah deret aritmetika 9 + 12 + 15 + ..., Tentukan nilai dari S_50. 

Jawab : 

a = 9

b = 3

Maka

S­₅₀ = 25(18 + 147)

S₅₀ = 25(165)

S₅₀ = 4125

2.  Jika jumlah 101 bilangan kelipatan tiga yang berurutan adalah 18.180 maka jumlah tiga bilangan terkecil yang pertama dari bilangan-bilangan tersebut adalah

Jawab: 

Diketahui: n = 101, b=3,  S₁₀₁ = 18180

Kedua ruas dikali 2 diperoleh

36360 = 101(2a + 300) 

Kedua ruas dibagi 101 kita punya

360 = 2a + 300

2a = 60

a = 30

Oleh karena itu tiga bilangan pertamanya adalah 30, 33, dan 36

Jumlah ketiganya adalah 30 + 33 + 36 = 99

Berikut adalah beberapa soal yang bisa kalian kerjakan 

1. Diketahui sebuah barisan aritmetika 4, 1, -2,...  Tentukan suku ke- 150 dari barisan tersebut!

2. Dari suatu deret aritmetika diketahui suku ke-3 bernilai 13 dan suku ke-7 adalah 29. Jumlah 25 suku pertama deret tersebut adalah

3. Suku ke-5 sebuah deret aritmetika adalah 11 dan jumlah nilai suku ke-8 dan suku ke-12 sama dengan 52. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah

Sekian dari saya, tunggu postingan saya selanjutnya